행렬 A의 행공간과 열공간의 공통차원을 A의 랭크라 하고 rank(A)로 표기
A의 영공간의 차원을 A의 무효차수라 하고 nullity(A)라 표기
*차원은 기저 안의 벡터들의 개수
예)
(x1,x2,x3,x4,x5)=s(-1,1,0,0,0) +t(-1,0,-1,0,1)
라면 v1=(-1,1,0,0,0)
v2=(-1,0,-1,0,1)
해공간의 기저
*정의
만약 V가 임의의 벡터공간이고, S={v1,v2,...,vn}이 벡터 V안의 유한집합이라 하면,
S가 다음 두 조건을 만족할 때,V의 기저(basis)라 한다
S는 일차독립이다
S는 V를 생성한다
*생각해보기
1)랭크는 공통차원의 개수라고 하고 행사다리꼴에서 선도1의 개수와 같다
행과 열의 공통차원인데 행렬이 주어졌을때 x1과 x2의 미지수가 같은 정도라 생각이 든다
행을 보면 1이 있는것이고 동시에 열로 보아도 1이 있다는 것이다
행은 1인데 열이 없는 것은 공통차원이 아니다
2)nullity
단어에서 의미를 생각해보면 없다는 것이다
없는 것을 미지수로 놓고 (무효차수)의 갯수
동등정리)
Ax=b가 해를 갖는다
하나의 해를 갖는다
det(A)이 0이 아니다
가역이다
기약행사리꼴
기본행렬의 곱
Ax=0 자명해
일차독립
랭크가 n
무효차수가 0